\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\newtheorem{tm}{Teorem}
\newtheorem{lema}{Lema}
\newtheorem{cor}{Korolar}
\newtheorem{prop}{Propozicija}
\newtheorem{exa}{Primjer}
\newtheorem{zad}{Zadatak}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{rem}{Primjedba}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{dfn}{Definicija}
\newtheorem*{rje}{Rješenje}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{pdfauthor={Department of Mathematics},pdfstartview={FitH},colorlinks=false,pdfborder={0 0 0}}
\usepackage{geometry}
\geometry{width=16cm,height=22.5cm,centering}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[OT2,T1]{fontenc}            %% Ono OT2 omogućuje pisanje ćirilice
\usepackage[russian,croatian]{babel}    %% babel mora doći nakon fontenc naredbe

%% ZA SLIKE
\usepackage{graphicx}
\usepackage{placeins}
\usepackage{caption,subfig}

%% ZA CITATE
\usepackage[style=english]{csquotes}

%% ZA LITERATURU
\usepackage{natbib}
\bibliographystyle{MathComm}

\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}

\pagestyle{empty}

\begin{document}


\pagestyle{empty}

\begin{flushleft}
{\sf Odjel za matematiku, Sveučilište J.J\,Strossmayera u Osijeku}\\[1ex]
\textsf{Numerička matematika, 2013./2014.}\\[1ex]

Prof.\,dr.\,sc.\ Rudolf Scitovski\\
Ivan Papić\\
\end{flushleft}
\medskip

\begin{center}
{\bf\Large Domaće zadaće}
\end{center}
\bigskip

\textcolor{blue}{\bf
Studenti koji žele postići bolju ocjenu iz ovog predmeta mogu izraditi neke od niže navedenih domaćih zadaća. Pojedini zadatak priznat će se prvom studentu koji ga riješi i njegovo
rješenje objavit će se uz zadatak. Naknadna rješenja istog zadatka također
će se priznavati ako je student samostalno izradio zadatak - što će
procijeniti predmetni asistent.}

\textcolor{blue}{\bf
Domaće zadaće pišu se u \LaTeX2e i šalju u \texttt{pdf} formatu na e-mail adresu NMDZ@mathos.hr. Pri tome treba koristiti zadani stil. Ako su ilustracije ili primjeri rađeni u programskom sustavu \textit{Mathematica}, priložite i odgovarajuću \texttt{.nb} datoteku. U \enquote{subject} e-mail-a stavite \enquote{NM-DZ}.}
\bigskip



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                 Z1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zad} {\sf (maksimalno 20 bodova)}\\
Neka je $\mathcal{Z}=\{0,1,\dots,9\}$ skup dekadskih znamenki. Za izabrani $a_{0}\in\mathcal{Z}$ i diskretnu uniformnu slučajnu varijablu $A$ na $\mathcal{Z}$ definiramo diskretnu slučajnu varijablu $X_{a_0}=|A-a_0|$.\\
Odredite očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju ove slučajne varijable uz odgovarajuće ilustracije i primjere.
%\textcolor{red}{Nenad je rekao da je formulacija zadatka u redu. Možda bi još trebalo reći što se točno misli pod \enquote{odgovarajuće ilustracije i primjere}. Npr. Za pojedini $a_0$ treba izgenerirati velik broj ($>1000$) realizacija slučajne varijable $A$ i nacrtati histogram apsolutnih razlika ili nešto slično.}
\end{zad}

%\begin{rje}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textcolor{blue}{Ovdje ide rješenje.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{rje}
%\bigskip




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                 Z2
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zad} {\sf (maksimalno 20 bodova)}\\
Zadana je matrica
\[
A[x_0,x_1,\dots,x_n]=\left[
\begin{array}{ccccc}
x^n_0&x^{n-1}_0&\cdots&x_0&1\\
x^n_1&x^{n-1}_1&\cdots&x_1&1\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
x^n_n&x^{n-1}_n&\cdots&x_n&1\\
\end{array}
\right],
\]
gdje je $a\leq x_0<x_1<\cdots<x_n\leq b$. Odredite $\det A[x_0,x_1,\dots,x_n]$. Specijalno, odredite determinantu $\det A[0,1,\dots,n]$ i broj uvjetovanosti $\textrm{cond}\,A[0,1,\dots,n]$ za $n=1,2,3,5,10,20$.
\end{zad}

%\begin{rje}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textcolor{blue}{Ovdje pišite rješenje.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{rje}
%\bigskip



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                 Z3
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zad} {\sf (maksimalno 20 bodova)}\\
Neka su $a\leq x_0<x_1<\cdots<x_n\leq b$ čvorovi interpolacije.
Izračunajte integral funkcije
\[
  \varphi(x)=\sum_{i=0}^n y_i p_i(x),
\]
u granicama od $x_0$ do $x_n$, gdje su $p_i$ tzv.\ hat-funkcije
\begin{align*}
&p_i(x)=\left\{\begin{array}{cl} (x-x_{i-1})/(x_i-x_{i-1}), &
x\in[x_{i-1},x_i] \\ (x_{i+1}-x)/(x_{i+1}-x_i), & x\in[x_i,x_{i+1}] \\
0, & \mbox{inače} \\ \end{array} \right.,\quad i=1,\dots,n-1,\\[1ex]
&p_0(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x_1-x}{x_1-x_0}, & x\in[x_0,x_1] \\
0, & \mbox{inače} \\ \end{array}\right.\qquad
p_n(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x-x_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}, & x\in[x_{n-1},x_n] \\
0, & \mbox{inače} \\ \end{array}\right.,
\end{align*}
koje imaju svojstvo
\[
  p_i(x_j)=\begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\neq j \\ \end{cases}.
\]
Pokažite da za ekvidistantno raspoređene čvorove dobivamo poznato generalizirano trapezno pravilo.
\end{zad}

%\begin{rje}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textcolor{blue}{Ovdje pišite rješenje.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{rje}
%\bigskip


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                 Z4
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zad} {\sf (maksimalno 20 bodova)}\\
Za neprekidnu funkciju $f\colon[a,b]\rightarrow\R$ čije vrijednosti
$y_0,y_1,\ldots,y_n$ poznajemo u $(n+1)$ čvorova $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$,
odredite kvadratni interpolacijski spline $Q:[a,b]\rightarrow\R$.
\end{zad}

%\begin{rje}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textcolor{blue}{Ovdje pišite rješenje.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{rje}
%\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                 Z5
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zad} {\sf (maksimalno 20 bodova)}\\
Za dani skup točaka $\A=\{a^i=(x_i,y_i)\in\R^n\colon i=1,\dots,m\}$ treba odrediti točku -- geometrijski medijan $c\in\R^n$ tako da suma euklidskih udaljenosti od svih točaka $a^i$ do točke $c$ bude minimalna. Definirajte funkciju cilja i iterativni postupak za traženje geometrijskog medijana. Izradite odgovarajući program i primjere.
\end{zad}

%\begin{rje}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textcolor{blue}{Ovdje pišite rješenje.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{rje}
%\bigskip



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                 Z6
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zad} {\sf (maksimalno 20 bodova)}\\
Za dani skup točaka $\A=\{a^i=(x_i,y_i)\in\R^n\colon i=1,\dots,m\}$ treba odrediti točku $c\in\R^n$ tako da
\begin{itemize}
\item[a)]
suma $l_1$ udaljenosti od svih točaka $a^i$ do točke $c$ bude minimalna;
\item[b)]
suma kvadrata euklidskih udaljenosti od svih točaka $a^i$ do točke $c$ bude minimalna;
\end{itemize}
Definirajte funkcije cilja. Mogu li se ovi problemi riješiti eksplicitno~?
\end{zad}

%\begin{rje}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textcolor{blue}{Ovdje pišite rješenje.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{rje}
%\bigskip



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                 Z7
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zad} {\sf (maksimalno 10 bodova)}\\
Na prostoru $C[0,+\infty\rangle$ definiran je skalarni produkt $(f,g)=\int\limits_0^{+\infty}e^{-x}f(x)g(x)dx$. \\
\textsf{(a)} Napišite Gramovu matricu $G(\varphi_0,\varphi_1,\dots,\varphi_n)$ za sustav funkcija \[
\varphi_i(x)=x^i,\quad i=0,1,\dots,n.
\]
Je li ona regularna\,?\\
\textsf{(b)} Odredite najbolju aproksimaciju funkcije $f\colon[0,+\infty\rangle\to\R$, $f(x)=\sin x$ na potprostoru $\mathcal{P}=L(\varphi_0,\varphi_1,\varphi_2)$.

Izradite grafičke prikaze koji će ilustrirati problem.
\end{zad}

%\begin{rje}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textcolor{blue}{Ovdje pišite rješenje.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{rje}
%\bigskip



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                 Z8
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zad} {\sf (maksimalno 10 bodova)}\\
Pokažite da je sustav trigonometrijskih funkcija
\[
 \tfrac{1}{2},\sin x, \cos x,\ldots, \sin nx,\cos nx,
 \]
na $C[-\pi,\pi]$ sa skalarnim produktom $(f,g)=\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)dx$ ortogonalan sustav, pri čemu su odgovarajuće norme funkcija jednake
\[
\|\tfrac{1}{2}\|=\sqrt{\tfrac{\pi}{2}},\quad \|\sin kx\|=\| \cos kx\|=\sqrt{\pi},\quad k=1,\dots,n.
\]
\end{zad}

%\begin{rje}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textcolor{blue}{Ovdje pišite rješenje.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{rje}
%\bigskip



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                 Z9
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zad} {\sf (maksimalno 10 bodova)}\\
Pokažite da svi Fourierovi koeficijenti $a_k=\tfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kx dx$ neparne funkcije $f\colon[-\pi,\pi]\to\R$ išćezavaju i da svi Fourierovi koeficijenti $b_k=\tfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kx dx$ parne funkcije $f\colon[-\pi,\pi]\to\R$ išćezavaju.
\end{zad}

%\begin{rje}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textcolor{blue}{Ovdje pišite rješenje.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{rje}
%\bigskip


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                 Z10
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zad} {\sf (maksimalno 10 bodova)}\\
Neka je $f\in C^1[-\pi,\pi]$ periodična funkcija temeljnog perioda $2\pi$. Pokažite da je tada i njena prva terivacija $f^\prime$ periodična funkcija temeljnog perioda $2\pi$.
\end{zad}

%\begin{rje}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textcolor{blue}{Ovdje pišite rješenje.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{rje}
%\bigskip




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                 Z11
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zad} {\sf (maksimalno 20 bodova)}\\
Pokažite da Čebiševljevi polinomi imaju sljedeća svojstva:
\begin{itemize}
\item[{\sf a)}]
$|T_n(x)|\leq 1,\quad x\in [-1,1],\quad n=0,1,\ldots$;
\item[{\sf b)}]
 Čebiševljev polinom $T_n$ ima na intervalu $[-1,1]$ $n$ različitih
 nultočaka
    \[x_k=\cos\left(\frac{2k-1}{n}\frac{\pi}{2}\right),\,k=1,\ldots,n;\]
\item[{\sf c)}]
 Čebiševljev polinom $T_n$ na intervalu $[-1,1]$ ima $n+1$ različitih
točaka
     \[\xi_k=\cos\frac{k\pi}{n},\,k=0,1,\ldots,n,\]
u kojima naizmjenično postiže globalne minimume i maksimume;
\item[{\sf d)}]\label{svojstvod}
$T_0(x)=1$, $T_1(x)=x$, a za $n=1,2,\ldots$ vrijedi rekurzivna formula:
\[
  T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x),\quad n=1,2,\ldots.
\]
\end{itemize}

\end{zad}

%\begin{rje}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textcolor{blue}{Ovdje pišite rješenje.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{rje}
%\bigskip



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                 Z12
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zad} {\sf (maksimalno 20 bodova)}\\
Pokažite da za Legendreove polinome
\[
P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}\left[(x^2-1)^n \right],\quad n\in\N,
\]
 vrijedi
\begin{enumerate}
\item[{\sf a)}] Svojstvo ortogonalnosti
\[
  \int_{-1}^1P_m(x)P_n(x)\,dx=\left\{
         \begin{array}{cl}
         0,    & m \neq n\\
         \frac{2}{2n+1}, & m=n,\quad m,n=0,1,\ldots
         \end{array}
  \right.
\]

\item[{\sf b)}]
Legendreov polinom $P_n,\,n\geq 1$, u intervalu $(-1,1)$ ima $n$ jednostrukih nultočaka.

\item[{\sf c)}]
$P_0(x)=1$, $P_1(x)=x$, a za $n=1,2,\ldots$ vrijedi rekurzivna formula:
\[
  P_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{n+1}xP_n(x)-\frac{n}{n+1}P_{n-1}(x).
\]
\item[{\sf d)}]
Primjenom {\em Mathematica}-naredbe \texttt{LegendreP[n,x]} odredite nekoliko Legendreovih polinoma i nacrtajte njihove grafove.
\end{enumerate}
\end{zad}

%\begin{rje}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textcolor{blue}{Ovdje pišite rješenje.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{rje}
%\bigskip





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                 Z13
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zad} {\sf (maksimalno 30 bodova)}\\
Za prirodni broj $n\in \N$ izračunajte
\[
\inf\limits_{a_i\in\R}\int\limits_0^{+\infty}e^{-x}\left(1+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\right)^2dx. \]
Izradite grafičke prikaze koji će ilustrirati problem.
\end{zad}

%\begin{rje}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textcolor{blue}{Ovdje pišite rješenje.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{rje}
%\bigskip


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                 Z14
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zad} {\sf (maksimalno 20 bodova)}\\
Zadane su dvije krivulje drugog reda
\begin{align*}
&K_1=\{(x,y)\in\R^2\colon a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+a_1x+a_2y+a_0=0,\,a_0,a_1,a_2,a_{11},a_{12},a_{22}\in\R\},\\
&K_2=\{(x,y)\in\R^2\colon b_{11}x^2+2b_{12}xy+b_{22}y^2+b_1x+b_2y+b_0=0,\,b_0,b_1,b_2,b_{11},b_{12},b_{22}\in\R\}.
\end{align*}
\textbf{(a)} Uz koje uvjete na parametre će krivulje $K_1,K_2$ biti elipse\,?\\
\textsf{(b)} Ako su $K_1,K_2$ elipse, uz koje dodatne uvjete na parametre će biti $K_1\cap K_2=\emptyset$\,?\\
\textsf{(c)} Ako su $K_1,K_2$ elipse koje se ne sijeku, kako odrediti njihovu međusobnu udaljenost
\[
d(K_1,K_2)=\min\{d(u,v)\colon u\in K_1,\,v\in K_2\}\,?
\]
\textsf{(d)} Pokažite da su
\begin{align*}
&K_1=\{(x,y)\in\R^2\colon 5x^2+6xy+5y^2+12x+20y+4=0\},\\
&K_2=\{(x,y)\in\R^2\colon 6x^2-4xy+9y^2-72x+64y+260=0\}.
\end{align*}
elipse koje se ne sijeku. Izračunajte $d(K_1,K_2)$.

Izradite grafičke prikaze koji će ilustrirati problem.
\end{zad}

%\begin{rje}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textcolor{blue}{Ovdje pišite rješenje.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{rje}
%\bigskip


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                 Z15
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zad} {\sf (maksimalno 20 bodova)}\\
Neka je $f\in C^4[a,b]$. Pokažite da tada postoji $c \in [a,b]$, tako da bude:
\[
        E=\int_a^b (f(x)-P_2(x)\,dx= - \frac{(b-a)^5}{90} f^{(4)}(c),
\]
gdje je $P_2$ interpolacijski polinom koji prolazi točkama: $T_0=(a,f(a))$, $T_1=\left(\tfrac{a+b}{2},f(\tfrac{a+b}{2})\right)$, $T_2=(b,f(b))$.
\end{zad}

%\begin{rje}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textcolor{blue}{Ovdje pišite rješenje.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{rje}
%\bigskip

\end{document}



